حساب المساحات والأحجام: الأشكال البسيطة والمركبة

الفصل: حساب المساحات والأحجام❓❓: الأشكال البسيطة والمركبة

مقدمة

في هذا الفصل، سنستكشف عالم المساحات والأحجام، وهما مفهومان أساسيان في الهندسة والعلوم التطبيقية. سنتعلم كيفية حساب المساحات للأشكال ثنائية الأبعاد البسيطة والمركبة، وكيفية حساب الأحجام للأشكال ثلاثية الأبعاد. فهم هذه المفاهيم ضروري للمهندس الصغير لفهم العالم من❓ حوله، وتصميم وبناء هياكل فعالة.

أ. المساحة: مفهوم أساسي

المساحة هي قياس الحيز الذي يشغله شكل ثنائي الأبعاد على سطح مستوٍ. بمعنى آخر، هي كمية “الغطاء” الذي يضعه الشكل على هذا السطح. يتم قياس المساحة بوحدات مربعة، مثل سنتيمتر مربع (cm²)، متر مربع (m²)، أو قدم مربع (ft²).

ب. مساحة المستطيل

المستطيل هو شكل رباعي الأضلاع، حيث تكون جميع زواياه قائمة (90 درجة). لحساب مساحة المستطيل، نضرب طوله في عرضه:

• صيغة مساحة المستطيل:
  A = L x W
  حيث:
  • A هي المساحة.
  • L هو الطول.
  • W هو العرض.

مثال:

لنفترض أن لدينا حديقة مستطيلة الشكل، طولها 12 مترًا وعرضها 8 أمتار. لحساب مساحة الحديقة، نستخدم الصيغة:
A = 12 m x 8 m = 96 m²

إذن، مساحة الحديقة هي 96 مترًا مربعًا.

تطبيق عملي:

تخيل أنك تريد تغطية أرضية غرفة مستطيلة بالسجاد. لحساب كمية السجاد المطلوبة، تحتاج إلى حساب مساحة الأرضية.

ج. وحدات المساحة

كما رأينا في المثال السابق، يتم التعبير عن نتيجة حساب المساحة بوحدات مربعة. تعتمد الوحدة المستخدمة على وحدات الطول المستخدمة للتعبير عن أبعاد الشكل.

• الوحدات الشائعة للمساحة:
  • بوصة مربعة (in²)
  • قدم مربعة (ft²)
  • ياردة مربعة (yd²)
  • ميل مربع (mi²)
  • آكر (acre)

الآكر❓❓ الواحد يعادل 43,560 قدمًا مربعًا.

د. تحويل الوحدات

عند حساب المساحات، من الضروري استخدام نفس وحدات الطول للتعبير عن جميع الأبعاد. إذا تم التعبير عن أحد الأبعاد بوحدة مختلفة، يجب تحويله إلى نفس الوحدة قبل حساب المساحة.

مثال:

لنفترض أن لدينا قطعة أرض مستطيلة، طولها 45 قدمًا وعرضها 7 ياردات. لحساب مساحة الأرض، يجب تحويل أحد الأبعاد إلى الوحدة الأخرى.

• تحويل العرض من ياردات إلى أقدام:

بما أن الياردة الواحدة تعادل 3 أقدام، فإن 7 ياردات تعادل:
7 yd x 3 ft/yd = 21 ft

• حساب المساحة:
  A = 45 ft x 21 ft = 945 ft²

إذن، مساحة قطعة الأرض هي 945 قدمًا مربعًا.

• تحويل الطول من أقدام إلى ياردات:
  45 ft / 3 ft/yd = 15 yd
• حساب المساحة:
  A = 15 yd x 7 yd = 105 yd²
• تحويل المساحة من ياردات مربعة إلى أقدام مربعة:
  105 yd² x 9 ft²/yd² = 945 ft²

لاحظ أنه في الحالتين، نحصل على نفس المساحة، ولكن بوحدات مختلفة.

مثال آخر:

لنفترض أن أحد أبعاد قطعة أرض هو 12 قدمًا و4 بوصات (12‘4”). لحساب المساحة، يجب تحويل هذا البعد إلى وحدة واحدة.

• تحويل 4 بوصات إلى أقدام:
  4 in / 12 in/ft = 0.33 ft
• إضافة القيمة المحولة إلى الأقدام:
  12 ft + 0.33 ft = 12.33 ft

إذن، البعد هو 12.33 قدمًا.

ه. مساحة المثلث

المثلث هو شكل ثلاثي الأضلاع، حيث تكون جميع الأضلاع عبارة عن خطوط مستقيمة. لحساب مساحة المثلث، نضرب طول القاعدة في الارتفاع❓❓، ثم نضرب النتيجة في ½ (أو نقسم على 2):

• صيغة مساحة المثلث:
  A = 1/2 x B x H
  حيث:
  • A هي المساحة.
  • B هي القاعدة.
  • H هو الارتفاع (المسافة العمودية من القاعدة إلى الرأس المقابل).

مثال:

لنفترض أن لدينا قطعة أرض مثلثة الشكل، قاعدتها 14 مترًا وارتفاعها 10 أمتار. لحساب مساحة قطعة الأرض، نستخدم الصيغة:
A = 1/2 x 14 m x 10 m = 70 m²

إذن، مساحة قطعة الأرض هي 70 مترًا مربعًا.

ملاحظة مهمة: يجب أن تكون القاعدة والارتفاع بنفس الوحدة قبل حساب المساحة.

و. المثلث القائم الزاوية

المثلث القائم الزاوية هو مثلث حيث تلتقي زاويتان بزاوية قائمة (90 درجة). لحساب مساحة المثلث القائم الزاوية، يمكن استخدام أطوال الضلعين اللذين يشكلان الزاوية القائمة كقاعدة وارتفاع. الصيغة هي نفسها كما في أي مثلث آخر:

• صيغة مساحة المثلث القائم الزاوية:
  A = 1/2 x B x H
  حيث:
  • B و H هما الضلعان اللذان يشكلان الزاوية القائمة.

مثال:

لنفترض أن لدينا مثلثًا قائم الزاوية، طول أحد ضلعي الزاوية القائمة 12 مترًا وطول الضلع الآخر 20 مترًا. لحساب مساحة المثلث، نستخدم الصيغة:
A = 1/2 x 12 m x 20 m = 120 m²

إذن، مساحة المثلث القائم الزاوية هي 120 مترًا مربعًا.

ز. مساحات الأشكال المعقدة

لحساب مساحة شكل معقد (مثل قطعة أرض ذات شكل غير منتظم)، نقوم أولاً بتقسيم الشكل إلى أشكال بسيطة❓❓ (مستطيلات ومثلثات). ثم نحسب مساحة كل شكل بسيط على حدة، ثم نجمع مساحات جميع الأشكال البسيطة للحصول على المساحة الكلية للشكل المعقد.

مثال:

لنفترض أن لدينا قطعة أرض ذات شكل معقد، يمكن تقسيمها إلى مربع ومستطيل ومثلث. لحساب مساحة قطعة الأرض، نقوم بما يلي:

1. تقسيم الشكل: نقسم قطعة الأرض إلى مربع “S” ومستطيل “R” ومثلث “T”.
2. حساب مساحة المربع: لنفترض أن طول ضلع المربع 40 قدمًا، إذن مساحته هي:
   A(S) = 40 ft x 40 ft = 1600 ft²
3. حساب مساحة المستطيل: لنفترض أن طول المستطيل 30 قدمًا وعرضه 25 قدمًا، إذن مساحته هي:
   A(R) = 30 ft x 25 ft = 750 ft²
4. حساب مساحة المثلث: لنفترض أن قاعدة المثلث 30 قدمًا وارتفاعه 30 قدمًا، إذن مساحته هي:
   A(T) = 1/2 x 30 ft x 30 ft = 450 ft²
5. حساب المساحة الكلية: نجمع مساحات الأشكال البسيطة:
   A(Total) = A(S) + A(R) + A(T) = 1600 ft² + 750 ft² + 450 ft² = 2800 ft²

إذن، مساحة قطعة الأرض المعقدة هي 2800 قدمًا مربعًا.

ح. الحجم: مفهوم أساسي

الحجم هو قياس الحيز الذي يشغله شكل ثلاثي الأبعاد في الفضاء. بمعنى آخر، هو كمية “الفراغ” الذي يحتله الشكل. يتم قياس الحجم بوحدات مكعبة، مثل سنتيمتر مكعب (cm³)، متر مكعب (m³)، أو قدم مكعب (ft³).

ط. حجم المكعب❓ ومتوازي المستطيلات

• المكعب: هو شكل ثلاثي الأبعاد له ستة أوجه مربعة متطابقة. حجم المكعب هو مكعب طول ضلعه:
  V = a³ حيث a هو طول الضلع.
• متوازي المستطيلات: هو شكل ثلاثي الأبعاد له ستة أوجه مستطيلة. حجم متوازي المستطيلات هو حاصل ضرب الطول والعرض والارتفاع:
  V = L x W x H
  حيث:
  • V هو الحجم.
  • L هو الطول.
  • W هو العرض.
  • H هو الارتفاع.

مثال:

لنفترض أن لدينا غرفة مستطيلة، طولها 15 مترًا وعرضها 10 أمتار وارتفاعها 10 أمتار. لحساب حجم الغرفة، نستخدم الصيغة:
V = 15 m x 10 m x 10 m = 1500 m³

إذن، حجم الغرفة هو 1500 متر مكعب.

تطبيق عملي:

تخيل أنك تريد حساب كمية الهواء الموجودة في غرفة مستطيلة. لحساب هذه الكمية، تحتاج إلى حساب حجم الغرفة.

ي. وحدات الحجم

يتم التعبير عن نتيجة حساب الحجم بوحدات مكعبة. تعتمد الوحدة المستخدمة على وحدات الطول المستخدمة للتعبير عن أبعاد الشكل.

• الوحدات الشائعة للحجم:
  • بوصة مكعبة (in³)
  • قدم مكعبة (ft³)
  • ياردة مكعبة (yd³)
  • متر مكعب (m³)
  • لتر (L) (اللتر الواحد يعادل 1000 سنتيمتر مكعب)
  • جالون (gallon)

ملاحظة مهمة: يجب أن تكون جميع الأبعاد بنفس الوحدة قبل حساب الحجم.

ك. المقلوب❓❓ (Reciprocal)

مقلوب العدد هو 1 مقسومًا على هذا العدد. على سبيل المثال، مقلوب العدد 2 هو 1/2 أو 0.5. إذا كان “A” هو مقلوب “B”، فإن “B” هو أيضًا مقلوب “A”.

مثال: 0.5 هو مقلوب 2.

خاتمة

في هذا الفصل، تعلمنا كيفية حساب المساحات والأحجام للأشكال البسيطة والمركبة. فهم هذه المفاهيم ضروري للمهندس الصغير لفهم العالم من حوله، وتصميم وبناء هياكل فعالة. تذكر دائمًا التأكد من استخدام نفس الوحدات لجميع الأبعاد قبل إجراء الحسابات، وتقسيم الأشكال المعقدة إلى أشكال بسيطة لتسهيل الحساب.